На краю свободно вращающегося горизонтального диска (радиус 3 м, момент инерции 142 кг × м2) стоит человек массой 80 кг. Во сколько раз изменится кинетическая энергия системы (W2/W1), если человек перейдет от края диска к центру? Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.
от

1 Ответ

Дано:

Радиус диска: R = 3 м
Момент инерции диска: Iд = 142 кг × м²
Масса человека: m = 80 кг
Найти:

Соотношение кинетической энергии системы после перехода человека к центру к кинетической энергии системы до перехода: W2 / W1
Решение:

Кинетическая энергия вращающегося тела:

W = (1/2) * I * ω²

где I - момент инерции, ω - угловая скорость.

Момент инерции человека как для материальной точки:

Iч = m * R²

Начальный момент инерции системы:

I1 = Iд + Iч = Iд + m * R²

Конечный момент инерции системы (после перехода человека к центру):

I2 = Iд + m * 0² = Iд

Закон сохранения момента импульса:

I1 * ω1 = I2 * ω2

ω2 = (I1 * ω1) / I2

Кинетическая энергия системы до перехода:

W1 = (1/2) * I1 * ω1²

Кинетическая энергия системы после перехода:

W2 = (1/2) * I2 * ω2² = (1/2) * I2 * ((I1 * ω1) / I2)² = (1/2) * I1² * ω1² / I2

Соотношение кинетических энергий:

W2 / W1 = ((1/2) * I1² * ω1² / I2) / ((1/2) * I1 * ω1²) = I1 / I2 = (Iд + m * R²) / Iд = (142 + 80 * 3²) / 142 ≈ 2,24

Ответ: Кинетическая энергия системы после перехода человека к центру диска увеличится в 2,24 раза.
от