Question

Определить максимальную энергию (в электрон-вольтах), которой могут обладать свободные электроны в металле при абсолютном нуле. Принять, что на каждый атом металла приходится по одному электрону. Массовое число металла равно 67, а плотность металла равна 8737 кг/м3.

Answer 1

Дано:
A = 67 - массовое число металла ρ = 8737 кг/м³ - плотность металла n = 1 - число свободных электронов на атом

Найти:
Emax - максимальная энергия электронов в металле при абсолютном нуле (в эВ)

Решение:
Максимальная энергия электронов в металле при абсолютном нуле определяется уровнем Ферми:

Emax = EF = (h^2 / (2m)) * (3π^2 * n / V)^(2/3)

где:

h - постоянная Планка (6.626 * 10^-34 Дж*с) m - масса электрона (9.11 * 10^-31 кг) n - концентрация свободных электронов V - объем, занимаемый одним электроном

Определим концентрацию свободных электронов:

n = N/V = (ρNA)/(Am)

где:

N - число атомов в объеме V NA - число Авогадро (6.022 * 10^23 моль^-1) m - масса одного моля атомов (A г/моль)

Найдем объем, занимаемый одним электроном:

V = 1/n = (Am)/(ρNA)

Подставим полученные значения в формулу для уровня Ферми:

Emax = (h^2 / (2m)) * (3π^2 * n / V)^(2/3) = (h^2 / (2m)) * (3π^2 * (ρNA)/(Am) / ((Am)/(ρNA)))^(2/3) = (h^2 / (2m)) * (3π^2 * ρNA / (Am))^(2/3)

Подставим числовые значения:

Emax = ( (6.626 * 10^-34)^2 / (2 * 9.11 * 10^-31) ) * (3π^2 * 8737 * 6.022 * 10^23 / (67 * 1.66 * 10^-27))^(2/3) = 1.06 * 10^-18 Дж

Переведем энергию в электрон-вольты:

Emax = 1.06 * 10^-18 Дж / (1.6 * 10^-19 Дж/эВ) = 6.63 эВ

Ответ:
Emax = 6.63 эВ