Дано:
x_0 = 0 (начальная координата груза)
t = 0,20 с (время, когда координата груза равна x_max/√2)
Найти:
Период колебаний T груза.
Решение:
Гармонические колебания описываются уравнением:
x(t) = A * sin(ωt + φ),
где A — амплитуда, ω — циклическая частота, φ — начальная фаза.
В начальный момент времени (t = 0):
x(0) = A * sin(φ) = 0.
Это означает, что sin(φ) = 0, и φ может быть равен 0 или π.
В случае φ = 0 уравнение примет вид:
x(t) = A * sin(ωt).
Согласно условию задачи, в момент времени t = 0,20 с координата груза становится равной x_max/√2. Это можно записать как:
x(0,20) = A * sin(ω * 0,20) = A / √2.
Теперь можем выразить sin(ω * 0,20):
A * sin(ω * 0,20) = A / √2.
Сократим A (при условии, что A ≠ 0):
sin(ω * 0,20) = 1 / √2.
Мы знаем, что синус равен 1/√2 при углах π/4 и 3π/4:
ω * 0,20 = π/4 или ω * 0,20 = 3π/4.
Теперь найдем циклическую частоту ω. Из первого уравнения:
ω = (π/4) / 0,20 = π / 0,80 = 5π рад/с.
Теперь найдем период колебаний T:
T = 2π / ω = 2π / (5π) = 2/5 с.
Ответ: Период колебаний груза составляет 0,4 с.