Дано:
Масса грузов m (одинаковая для обеих пружин).
Отношение удлинений пружин l1 / l2 = k1 / k2, где k1 и k2 - жесткости пружин.
Отношение амплитуд колебаний x2max / x1max = 2.
Найти:
Отношение полных механических энергий пружинных маятников E1 / E2.
Решение:
1. Полная механическая энергия E в пружине с жесткостью k и максимальным отклонением xmax определяется по формуле:
E = (1/2) * k * x^2.
2. Для первой пружины (с жесткостью k1) имеем:
E1 = (1/2) * k1 * x1max^2.
3. Для второй пружины (с жесткостью k2) имеем:
E2 = (1/2) * k2 * x2max^2.
4. Теперь найдем отношение полных механических энергий:
E1 / E2 = [(1/2) * k1 * x1max^2] / [(1/2) * k2 * x2max^2].
5. Сократим (1/2):
E1 / E2 = (k1 * x1max^2) / (k2 * x2max^2).
6. Подставим известное отношение амплитуд: x2max = 2 * x1max.
7. Подставляем это значение в уравнение:
E1 / E2 = (k1 * x1max^2) / (k2 * (2 * x1max)^2).
8. Упрощаем:
E1 / E2 = (k1 * x1max^2) / (k2 * 4 * x1max^2).
9. Сокращаем x1max^2:
E1 / E2 = k1 / (4 * k2).
10. Из условия задачи известно, что отношение удлинений пружин пропорционально их жесткостям:
l1 / l2 = k1 / k2.
11. Обозначим l1 = l2 * (k1 / k2), тогда k1 = (l1 / l2) * k2.
12. Подставим k1 в выражение для отношения энергий:
E1 / E2 = [(l1 / l2) * k2] / (4 * k2).
13. Сократим k2:
E1 / E2 = (l1 / l2) / 4.
14. Таким образом, получили выражение для отношения полных механических энергий:
E1 / E2 = l1 / (4 * l2).
Ответ:
Отношение полных механических энергий пружинных маятников E1 / E2 равно l1 / (4 * l2).