Дано:
m = масса поплавка (кг)
S = площадь основания поплавка (м^2)
ρ = плотность воды (кг/м^3)
Найти:
Частоту колебаний f.
Решение:
1. Для определения частоты колебаний необходимо использовать закон Архимеда, который говорит о том, что на тело, погруженное в жидкость, действует подъемная сила, равная весу вытесненной жидкости. Подъемная сила F_подъем равна:
F_подъем = ρ * g * V,
где g = ускорение свободного падения (приблизительно 9,81 м/с²), а V – объем вытесненной воды.
2. Объем вытесненной воды можно выразить как произведение площади основания S и глубины погружения h:
V = S * h.
3. Тогда подъемная сила составит:
F_подъем = ρ * g * (S * h).
4. Когда поплавок смещается вниз на небольшое расстояние x, его новая глубина погружения будет (h + x). В этом случае подъемная сила становится:
F'_подъем = ρ * g * (S * (h + x)).
5. Разница между старой и новой подъемной силой дает силу, действующую на поплавок:
F_восстановления = F'_подъем - F_подъем
= ρ * g * (S * (h + x)) - ρ * g * (S * h)
= ρ * g * S * x.
6. Эта сила пропорциональна смещению x и направлена вверх, что соответствует закону Гука для гармонических колебаний. Она может быть записана в виде:
F_восстановления = -k * x,
где k = ρ * g * S.
7. По второму закону Ньютона имеем:
F = m * a,
где a = d²x/dt² (ускорение).
8. Таким образом, уравнение движения имеет вид:
m * d²x/dt² = -ρ * g * S * x.
9. Это уравнение колебаний имеет стандартный вид для гармонических колебаний:
d²x/dt² + (ρ * g * S / m) * x = 0.
10. Частота колебаний f связана с циклической частотой ω по формуле:
f = ω / (2 * π),
где ω = sqrt(ρ * g * S / m).
11. Подставив выражение для ω, получаем:
f = (1 / (2 * π)) * sqrt(ρ * g * S / m).
Ответ:
Частота вертикальных гармонических колебаний составляет f = (1 / (2 * π)) * sqrt(ρ * g * S / m) (Гц).