Дано:
N1 = 50 (количество колебаний первого маятника)
N2 = 25 (количество колебаний второго маятника)
Δl = 33 см = 0,33 м (разница в длинах маятников)
Найти:
Длину первого маятника L1 и длину второго маятника L2.
Решение:
1. Период T маятника связан с количеством колебаний N и временем t:
T1 = t / N1
T2 = t / N2.
2. Циклическая частота ω связана с периодом T следующим образом:
ω = 2 * π / T.
3. Для двух маятников можно записать:
ω1 = 2 * π / T1 = N1 * (2 * π / t)
ω2 = 2 * π / T2 = N2 * (2 * π / t).
4. Из этого следует, что:
ω1 / ω2 = N1 / N2.
5. Подставим значения:
ω1 / ω2 = 50 / 25 = 2.
6. Циклическая частота также связана с длиной маятника и ускорением свободного падения g:
ω1 = sqrt(g / L1
ω2 = sqrt(g / L2.
7. Сравним соотношение частот:
sqrt(g / L1) / sqrt(g / L2) = 2.
8. Упростим уравнение:
sqrt(L2 / L1) = 1/2.
9. Возведем обе стороны в квадрат:
L2 / L1 = 1/4.
10. Таким образом, можно выразить длины через одно уравнение:
L2 = L1 / 4.
11. По условию задачи один из маятников короче другого на Δl = 0,33 м:
L1 - L2 = 0,33.
12. Подставим L2 в это уравнение:
L1 - L1 / 4 = 0,33.
13. Приведем к общему знаменателю:
(4L1 - L1) / 4 = 0,33
3L1 / 4 = 0,33.
14. Умножим обе стороны на 4:
3L1 = 1,32.
15. Разделим на 3:
L1 = 1,32 / 3
L1 = 0,44 м.
16. Теперь найдем L2:
L2 = L1 / 4 = 0,44 / 4 = 0,11 м.
Ответ:
Длина первого маятника L1 приблизительно равна 0,44 м, а длина второго маятника L2 приблизительно равна 0,11 м.