Дано:
- Радиус шара R = 21 см = 0,21 м.
- Абсолютный показатель преломления воды n = 4/3.
Найти:
- Расстояние между источником света и центром шара, при котором ни один луч света не выходит из воды в воздух.
Решение:
1. Шар наполовину погружен в воду. Его центр находится на глубине h = R/2 = 0,21/2 = 0,105 м (вода выше центра шара).
2. Максимальное расстояние до источника света от шара определяется по условию полного внутреннего отражения. Луч света должен падать на границу раздела между водой и воздухом под углом, превышающим угол полного внутреннего отражения.
3. Находим критический угол θc для перехода от воды в воздух:
sin(θc) = n2/n1,
где n2 = 1 (воздух), n1 = 4/3 (вода).
4. Подставляем значения:
sin(θc) = 1/(4/3) = 3/4.
5. Теперь находим θc:
θc = arcsin(3/4).
6. Определяем максимальный угол, при котором свет еще может выйти из воды:
Угол θ является углом между вертикалью и направлением к источнику света, где θ < θc.
7. Используем тригонометрию для нахождения расстояния d между источником света и точкой прямо над центром шара:
tan(θc) = R/d.
8. Вместо R подставим значение радиуса шара:
d = R/tan(θc),
где R = 0,21 м.
9. Сначала находим значение tan(θc):
θc ≈ 48,59 градусов (применяя калькулятор для arcsin).
tan(θc) ≈ 1.11 (по таблицам или с помощью калькулятора).
10. Подставляем в уравнение:
d = 0,21 / 1.11 ≈ 0,189 м.
Ответ:
Расстояние между источником света и центром шара составляет примерно 0,189 м или 18,9 см.