дано:
Г = 2 - линейное увеличение,
l = 8 см = 0.08 м - перемещение линзы.
искать:
F - фокусное расстояние линзы.
решение:
Для действительного изображения при увеличении Г = 2 выполняется следующее соотношение:
U = H' / H = d' / d,
где H' - высота изображения, H - высота предмета, d' - расстояние от линзы до изображения, d - расстояние от линзы до предмета. Поскольку U = 2, можем записать:
d' = 2d.
Теперь подставим это значение в формулу тонкой линзы:
1/F = 1/d + 1/d'.
Подставим d':
1/F = 1/d + 1/(2d).
Упростим уравнение:
1/F = (2 + 1) / (2d) = 3 / (2d).
Таким образом, получаем:
F = (2d) / 3.
Теперь, когда мы переместили линзу на l = 8 см, то новое расстояние до предмета будет d' = d + l и новое расстояние до изображения d'':
1/F = 1/(d + l) + 1/d''.
Так как полученное мнимое изображение также имеет такое же увеличение (H' = H), мы можем записать:
d'' = d - l.
Теперь подставим эти значения в уравнение:
1/F = 1/(d + 0.08) + 1/(d - 0.08).
Приравняем оба выражения для F:
(2d) / 3 = 1/(d + 0.08) + 1/(d - 0.08).
Теперь упростим уравнение:
(2d) / 3 = (d - 0.08 + d + 0.08) / ((d + 0.08)(d - 0.08))
(2d) / 3 = (2d) / (d^2 - 0.0064).
Перемножим обе стороны:
2d(d^2 - 0.0064) = 6d.
Упростим уравнение:
2d^3 - 0.0128d - 6d = 0
2d^3 - 6.0128d = 0.
Факторизуем:
d(2d^2 - 6.0128) = 0.
Так как d не равно нулю, решим квадратное уравнение:
2d^2 - 6.0128 = 0,
d^2 = 3.0064,
d = √3.0064 ≈ 1.73 м.
Теперь подставим значение d обратно в уравнение для нахождения фокусного расстояния:
F = (2 * 1.73) / 3 ≈ 1.15 м.
ответ:
фокусное расстояние линзы F ≈ 1.15 м или 115 см.