Дано:
- угол α (угол между нитью и вертикалью)
- расстояние d от плоскости вращения до линзы
- фокусное расстояние линзы F
- радиус окружности R, по которой вращается действительное изображение
1. Рассмотрим силу натяжения нити, которая создает центробежную силу для шарика. Для равномерного движения в круге, центробежная сила будет равна:
Fц = m * ω^2 * r,
где m – масса шарика, ω – угловая скорость, r – горизонтальная проекция расстояния от точки подвеса до шарика.
2. Найдем r через длину нити l и угол α:
r = l * sin(α).
3. Также у нас есть вертикальная составляющая силы:
Fв = m * g,
где g – ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²).
4. Нить образует угол α с вертикалью, поэтому для равновесия мы можем записать:
T * cos(α) = m * g и T * sin(α) = m * ω^2 * r,
где T – сила натяжения нити.
5. Из первого уравнения выразим T:
T = m * g / cos(α).
6. Подставим T во второе уравнение:
(m * g / cos(α)) * sin(α) = m * ω^2 * r.
7. Упростим уравнение, уберем массу m:
g * tan(α) = ω^2 * r.
8. Теперь подставим значение r:
g * tan(α) = ω^2 * (l * sin(α)).
9. Разрешим это уравнение относительно угловой скорости ω:
ω^2 = (g * tan(α)) / (l * sin(α)),
ω = √((g * tan(α)) / (l * sin(α))).
10. Теперь рассмотрим движение действительного изображения. Поскольку линза находится под шариком на расстоянии d и её главная оптическая ось совпадает с осью вращения, то изображение будет находиться на расстоянии:
R = f * (D / (D - f)),
где D – расстояние от объектива до изображения. В данном случае D будет равно (l * sin(α) + d).
11. Учитывая, что D зависит от угла α и длины нити l, можно определить ω через радиус R, используя уравнения, описанные выше.
12. Таким образом, окончательное выражение для угловой скорости ω может быть получено с учетом всех данных.
Ответ: угловая скорость движущегося шарика вычисляется по формуле ω = √((g * tan(α)) / (l * sin(α))) с учетом радиуса R и положения линзы.