Дано:
- Частота фотона ν = 1,0 * 10^15 Гц.
- Скорость света c ≈ 3 * 10^8 м/с.
Найти: модуль скорости электрона v.
Решение:
1. Сначала найдем энергию фотона по формуле:
E_photon = h * ν,
где h — постоянная Планка, h ≈ 6,63 * 10^(-34) Дж·с.
2. Подставим значения в формулу для расчета энергии фотона:
E_photon = (6,63 * 10^(-34) Дж·с) * (1,0 * 10^15 Гц)
≈ 6,63 * 10^(-19) Дж.
3. Поскольку кинетическая энергия электрона равна энергии фотона, имеем:
E_kin = E_photon ≈ 6,63 * 10^(-19) Дж.
4. Для релятивистского случая кинетическую энергию можно выразить как:
E_kin = (γ - 1)m₀c²,
где γ = 1 / √(1 - (v²/c²)), m₀ — масса электрона, m₀ ≈ 9,11 * 10^(-31) кг.
5. Запишем уравнение для E_kin:
6,63 * 10^(-19) = (γ - 1)(9,11 * 10^(-31) кг)(3 * 10^8 м/с)².
6. Рассчитаем E₀ = m₀c²:
E₀ = (9,11 * 10^(-31) кг) * (9 * 10^16 м²/с²)
≈ 8,19 * 10^(-14) Дж.
7. Теперь подставим это значение в уравнение для E_kin и выразим γ:
6,63 * 10^(-19) = (γ - 1)(8,19 * 10^(-14)).
8. Решаем уравнение для γ:
γ - 1 = 6,63 * 10^(-19) / (8,19 * 10^(-14))
γ - 1 ≈ 8,09 * 10^(-6),
γ ≈ 1 + 8,09 * 10^(-6) ≈ 1,00000809.
9. Теперь воспользуемся определением γ для нахождения скорости v:
γ = 1 / √(1 - (v²/c²)),
откуда 1 - (v²/c²) = 1 / γ².
10. Подставим γ в уравнение:
1 - (v²/c²) = 1 / (1,00000809)²
≈ 1 - 2 * 8,09 * 10^(-6) (для малых значений)
≈ 1 - 1,618 * 10^(-5).
11. Решим для v²/c²:
v²/c² ≈ 1,618 * 10^(-5).
12. Умножим обе стороны на c²:
v² ≈ (1,618 * 10^(-5))(3 * 10^8)²
= (1,618 * 10^(-5))(9 * 10^{16})
≈ 1,455 * 10^{12}.
13. Найдем v:
v ≈ √(1,455 * 10^{12})
≈ 1,21 * 10^6 м/с.
Ответ: модуль скорости электрона составляет приблизительно 1,21 * 10^6 м/с.