Дано: квадрат ABCD с вершинами A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) в декартовой системе координат.
Найти: множество точек внутри квадрата, равноудалённых от:
а) вершин A и B;
б) вершин A и C.
Решение:
а) Для поиска точки, которая равноудалена от вершин A и B, находим длину отрезка AB. Точка P(x, y) будет равноудалена от A и B, если расстояния PA и PB равны.
Расстояние PA:
PA = sqrt((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = sqrt(x^2 + y^2)
Расстояние PB:
PB = sqrt((x - 1)^2 + (y - 0)^2) = sqrt((x - 1)^2 + y^2)
Условие равноудалённости:
sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((x - 1)^2 + y^2)
Квадратируем обе стороны:
x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2
x^2 = (x - 1)^2
Раскроем скобки:
x^2 = x^2 - 2x + 1
Упрощаем уравнение:
0 = -2x + 1
2x = 1
x = 0.5
Подставляя x = 0.5 обратно в уравнение для y, получаем:
y может принимать любое значение от 0 до 1.
Таким образом, множество точек равноудалённых от A и B — это вертикальная линия x = 0.5 от (0.5, 0) до (0.5, 1).
б) Для поиска точки, равноудалённой от вершин A и C, снова используем расстояния.
Расстояние PA:
PA = sqrt((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = sqrt(x^2 + y^2)
Расстояние PC:
PC = sqrt((x - 1)^2 + (y - 1)^2) = sqrt((x - 1)^2 + (y - 1)^2)
Условие равноудалённости:
sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((x - 1)^2 + (y - 1)^2)
Квадратируем обе стороны:
x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2
Раскроем скобки:
x^2 + y^2 = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1)
Упрощаем уравнение:
0 = -2x - 2y + 2
2x + 2y = 2
x + y = 1
Таким образом, множество точек, равноудалённых от A и C — это прямая линия y = 1 - x, проходящая через точки (0, 1) и (1, 0).
Ответ:
а) Множество точек, равноудалённых от вершин A и B — это вертикальная линия x = 0.5.
б) Множество точек, равноудалённых от вершин A и C — это прямая линия y = 1 - x.