Дано:
Два параллелограмма ABCD и ABKM, где стороны AB, BC, CD, DA являются сторонами первого параллелограмма, а AB, BK, KM, AM - второго.
Найти:
Докажите, что или отрезки CD и KM лежат на одной прямой, или четырехугольник CKMD является параллелограммом.
Решение:
1. Параллелограммы имеют следующие свойства:
- Противоположные стороны и углы равны.
- Сумма противоположных углов равна 180 градусов.
2. Рассмотрим две ситуации:
Ситуация 1: Если отрезки CD и KM лежат на одной прямой.
Это означает, что точки C и K могут быть коллинеарными с точками D и M, следовательно, CD и KM пересекаются в одной плоскости, и мы можем рассматривать их как одну линию.
Ситуация 2: Если CD и KM не лежат на одной прямой, то необходимо доказать, что четырехугольник CKMD является параллелограммом.
3. Для этого покажем, что противоположные стороны CK и MD равны, а также CM и DK.
4. Так как ABCD и ABKM – параллелограммы, то имеем:
AB = CD и AK = BM.
5. Рассмотрим стороны CK и MD:
- CK = AB (поскольку AB = CK)
- MD = AB
6. Теперь у нас есть две пары сторон: CK и MD, которые равны.
7. Следовательно, если CD и KM не лежат на одной прямой, то CK и MD равны и параллельны, что делает четырехугольник CKMD параллелограммом по признаку равенства двух сторон.
Ответ:
Либо отрезки CD и KM лежат на одной прямой, либо четырехугольник CKMD является параллелограммом, так как это следует из свойств параллелограммов и равенства их соответствующих сторон.