Дано:
Два параллелограмма ABCD и AMSR, где стороны AB, BC, CD, DA являются сторонами первого параллелограмма, а AM, MS, SR, RA – второго.
Найти:
а) Докажите, что отрезки AC, BD и MR проходят через одну точку.
б) Докажите, что четырехугольник BMDP является параллелограммом.
Решение:
а) Для доказательства того, что отрезки AC, BD и MR пересекаются в одной точке, воспользуемся свойствами параллелограммов.
1. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. Аналогично в параллелограмме AMSR диагонали AM и SR пересекаются в точке P.
3. Так как ABCD и AMSR — параллелограммы, точки O и P будут являться общими точками пересечения для диагоналей AC, BD и MR.
4. Эти диагонали пересекаются, так как каждая из них делит параллелограммы на две равные части, следовательно, AC, BD и MR встречаются в одной точке.
б) Теперь необходимо доказать, что BMDP является параллелограммом.
1. У нас есть следующие равенства:
- BM = DP (так как BM и DP — противолежащие стороны параллелограмма AMSR)
- BD = MP (так как BD и MP — противолежащие стороны параллелограмма ABCD)
2. По признаку параллелограмма, если две пары противолежащих сторон равны, то четырехугольник BMDP является параллелограммом.
Ответ:
а) Отрезки AC, BD и MR проходят через одну точку, так как они являются диагоналями двух параллелограммов и пересекаются в общей точке.
б) Четырехугольник BMDP является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны равны.