Question

В параллелограмме ABCD провели биссектрису угла А. а) Пусть она пересекает прямую ВС в точке К. Докажите, что треугольник АВК равнобедренный, б) Пусть она пересекает прямую CD в точке L. Сколько равнобедренных треугольников вы можете насчитать на полученном рисунке? в) Пусть известны периметры треугольников АВК и KCL. Сможете ли вы найти периметр треугольника ADL? г) Может ли точка К быть серединой стороны ВС? д) Оказывается, если точка К — середина стороны ВС, то точка С — середина стороны DL. Докажите это.

Answer 1

а) Дано: Параллелограмм ABCD, биссектрису угла A пересекает прямую BC в точке K.

Найти: Доказать, что треугольник AVK равнобедренный.

Решение: В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому углы A и C равны. Биссектрису угла A делит его на два равных угла. Поскольку углы BAK и CAK равны, и отрезки AB и AC параллелограмма равны, треугольник AVK является равнобедренным, где AB = AK.

Ответ: Треугольник AVK равнобедренный.

б) Дано: Параллелограмм ABCD, биссектрису угла A пересекает прямую CD в точке L.

Найти: Сколько равнобедренных треугольников можно насчитать.

Решение: Мы уже доказали, что треугольник AVK равнобедренный. Аналогично, в параллелограмме угол BAK равен углу DAK, следовательно, треугольник ADL также будет равнобедренным. Таким образом, на рисунке будет два равнобедренных треугольника: AVK и ADL.

Ответ: 2 равнобедренных треугольника.

в) Дано: Периметры треугольников AVK и KCL.

Найти: Периметр треугольника ADL.

Решение: Поскольку треугольник AVK и KCL равнобедренные и сторона AV равна стороне AD (из свойств параллелограмма), а также стороны VK и CL равны, периметр треугольника ADL будет равен периметру треугольника AVK плюс периметр треугольника KCL минус удвоенное значение стороны AK (так как она входит в оба треугольника).

Ответ: Периметр треугольника ADL равен периметру треугольника AVK плюс периметру треугольника KCL минус удвоенная сторона AK.

г) Дано: Параллелограмм ABCD, точка K на стороне BC.

Найти: Может ли точка K быть серединой стороны BC?

Решение: Если точка K является серединой стороны BC, то по свойствам биссектрисы угла в параллелограмме треугольники AVK и KCL будут равнобедренными. Параллелограмм будет иметь свойство, что стороны AK и BK равны, а также равенство углов между этими сторонами. Так как в параллелограмме точки K, L, B и C определены однозначно, K может быть серединой стороны BC.

Ответ: Да, точка K может быть серединой стороны BC.

д) Дано: Точка K — середина стороны BC.

Найти: Докажите, что точка C — середина стороны DL.

Решение: Если точка K середина стороны BC, то треугольники AVK и KCL равнобедренные, и AD и CL параллельны. Таким образом, стороны AD и CL равны, что означает, что точка C является серединой стороны DL, так как в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий середины сторон, равен половине основания.

Ответ: Точка C является серединой стороны DL.