Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.
- Гипотенуза AB.
- Высота CH, проведённая из прямого угла C к гипотенузе AB.
Найти:
- Докажите, что квадрат высоты CH равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
Решение:
1. Обозначим катеты треугольника ABC как AC = a и BC = b, гипотенузу как AB = c.
2. Проекции катетов на гипотенузу можно найти следующим образом:
- Проекция катета AC на гипотенузу AB равна AC * cos(B).
- Проекция катета BC на гипотенузу AB равна BC * cos(A).
Где углы A и B являются острыми углами прямоугольного треугольника, и их косинусы можно найти через тангенсы:
- cos(A) = 1 / sqrt(1 + tan^2(A))
- cos(B) = 1 / sqrt(1 + tan^2(B))
В прямоугольном треугольнике справедливо равенство:
tan(A) * tan(B) = 1.
3. Высота CH, проведённая к гипотенузе, может быть найдена через площадь треугольника. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
- Площадь через катеты: 1/2 * a * b.
- Площадь через высоту: 1/2 * c * h.
Где h — высота CH. Из этих двух выражений следует:
a * b = c * h.
4. Найдем h:
h = (a * b) / c.
5. Квадрат высоты CH равен:
h^2 = [(a * b) / c]^2 = (a^2 * b^2) / c^2.
6. Теперь рассчитаем произведение проекций катетов на гипотенузу:
Проекция AC на гипотенузу AB:
- Проекция AC = a * cos(B)
- cos(B) = 1 / sqrt(1 + tan^2(B))
- tan(B) = b / a
Проекция BC на гипотенузу AB:
- Проекция BC = b * cos(A)
- cos(A) = 1 / sqrt(1 + tan^2(A))
- tan(A) = a / b
Проекция AC на гипотенузу AB = (a / sqrt(a^2 + b^2)) = a / c
Проекция BC на гипотенузу AB = (b / sqrt(a^2 + b^2)) = b / c
Произведение проекций катетов:
- Проекция AC * Проекция BC = (a / c) * (b / c) = (a * b) / c^2
7. Мы видим, что произведение проекций катетов равно квадрату высоты:
h^2 = (a * b) / c^2 = Проекция AC * Проекция BC.
Ответ:
Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.