Дано:
- два прямоугольных треугольника ABC и DEF
- катеты треугольника ABC: AB = a, BC = b
- катеты треугольника DEF: DE = ka, EF = kb (где k — коэффициент пропорциональности)
Найти:
- доказать, что треугольники ABC и DEF подобны
Решение:
1. В треугольнике ABC угол C = 90°, а в треугольнике DEF угол F = 90°.
2. По условию катеты треугольника ABC пропорциональны катетам треугольника DEF:
a / ka = b / kb.
3. Это означает, что:
a / b = (ka) / (kb).
4. Сокращая обе части на a и b (при условии, что a и b не равны нулю), получаем:
1 / 1 = k / k.
5. Таким образом, углы при катетах также равны:
угол A = угол D,
угол B = угол E.
6. Углы треугольника ABC:
угол A, угол B, угол C (90°),
углы треугольника DEF:
угол D, угол E, угол F (90°).
7. Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника с равными углами:
угол A = угол D,
угол B = угол E,
угол C = угол F (90°).
8. По критерию подобия треугольников по углам, треугольники ABC и DEF подобны.
Ответ:
Прямоугольные треугольники, катеты которых пропорциональны, подобны по угловому критерию.