дано:
- На плоскости отмечено несколько точек, никаких из которых не лежат на одной прямой.
- Через каждые две точки проведена прямая.
- Всего проведено 55 прямых.
найти:
- Сколько было отмечено точек.
решение:
1. Обозначим количество отмеченных точек как n.
2. Через каждую пару точек проводится прямая. Количество всех возможных пар из n точек равно C(n, 2), где C(n, 2) - это сочетание n по 2.
3. Формула сочетания для выбора 2 из n:
C(n, 2) = n(n - 1) / 2
4. По условию задачи, проведено 55 прямых, поэтому:
n(n - 1) / 2 = 55
5. Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
n(n - 1) = 110
6. Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:
n^2 - n - 110 = 0
7. Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:
D = b^2 - 4ac
Здесь a = 1, b = -1, c = -110, поэтому:
D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-110) = 1 + 440 = 441
8. Найдем корень из дискриминанта:
√D = √441 = 21
9. Найдем корни квадратного уравнения по формуле:
n = (-b ± √D) / (2a)
n = (1 ± 21) / 2
Это дает два возможных значения:
n = (1 + 21) / 2 = 22 / 2 = 11
n = (1 - 21) / 2 = -20 / 2 = -10 (отрицательное значение отвергается, так как количество точек не может быть отрицательным)
10. Таким образом, количество отмеченных точек n равно 11.
ответ:
- 11