Дано:
- Точка A лежит на прямой.
- Отрезок BC пересекает прямую в точке, отличной от его концов.
- На отрезке AB отмечена произвольная точка M.
Найти:
- Доказать, что отрезок CM всегда пересекает прямую.
Решение:
1. Пусть точка A расположена на прямой, а отрезок BC пересекает прямую в точке P (P ≠ B и P ≠ C). Тогда прямая BC имеет точку пересечения с прямой, отличную от своих концов.
2. Точка M находится на отрезке AB. Это означает, что M лежит между A и B.
3. Отрезок CM соединяет точку C (который находится за пределами отрезка AB) и точку M (которая лежит на отрезке AB). Прямая, проходящая через точки B и C, пересекает прямую в точке P.
4. Рассмотрим, как отрезок CM пересекает прямую. Так как M находится на отрезке AB, а отрезок BC пересекает прямую, отрезок CM будет соединять точку, находящуюся на отрезке AB, и точку, находящуюся на стороне от прямой отрезка BC.
5. Поскольку отрезок BC пересекает прямую, и отрезок CM соединяет точку на отрезке AB с точкой, находящейся на противоположной стороне отрезка BC, отрезок CM обязательно пересечет прямую. Это можно визуально или аналитически подтвердить, так как отрезок CM соединяет две точки, одна из которых находится на отрезке AB, а другая на стороне от прямой, что гарантирует пересечение прямой.
Ответ:
Отрезок CM всегда пересекает прямую.