Дано:
- Замкнутая шестизвенная ломаная на клетчатой бумаге.
Найти:
- Доказать, что её звенья при вершинах образуют 3 пары равных углов.
Решение:
1. Обозначим вершины ломаной как A, B, C, D, E, F, где сегменты AB, BC, CD, DE, EF, FA являются звеньями ломаной.
2. Ломаная замкнута, значит, последняя точка F соединяется с первой точкой A.
3. В каждой вершине, например в A, B, C, D, E, F, образуются углы:
- Угол при A: ∠FAB и ∠BAF.
- Угол при B: ∠ABC и ∠CBA.
- Угол при C: ∠BCD и ∠DCB.
- Угол при D: ∠CDE и ∠EDC.
- Угол при E: ∠DEF и ∠FED.
- Угол при F: ∠EFA и ∠AFE.
4. Поскольку ломаная является замкнутой, сумма углов в каждой вершине равна 360°.
5. Углы при вершинах A, C и E являются внешними по отношению к треугольникам, образованным соседними звеньями, и равны по своим величинам:
- ∠FAB + ∠BAF = ∠EFA + ∠AFE.
- ∠ABC + ∠CBA = ∠DEF + ∠FED.
- ∠BCD + ∠DCB = ∠CDE + ∠EDC.
6. Таким образом, получаем, что:
- Углы ∠FAB = ∠EFA,
- Углы ∠ABC = ∠DEF,
- Углы ∠BCD = ∠CDE.
Ответ:
Доказано, что звенья замкнутой шестизвенной ломаной при вершинах образуют 3 пары равных углов.