Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Точки M и K на сторонах AB и CD соответственно так, что AM = SK.
- Нужно доказать, что отрезок MK проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
Решение:
1. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит каждую из диагоналей пополам, то есть AO = OC и BO = OD.
2. Обозначим координаты точек параллелограмма следующим образом:
- A = (0, 0)
- B = (a, b)
- C = (a + c, b + d)
- D = (c, d)
3. Точки M и K расположены на сторонах AB и CD соответственно. Пусть M делит AB в отношении t:1-t, где 0 ≤ t ≤ 1. То есть координаты точки M будут (ta, tb).
4. Пусть K делит CD в отношении u:1-u, где 0 ≤ u ≤ 1. Тогда координаты точки K будут ((1-u)c + (u(a + c)), (1-u)d + (ub + d)).
5. По условию AM = SK, это означает, что длина отрезка AM равна длине отрезка SK.
6. Поскольку AM = SK и AM и SK - это отрезки на параллельных сторонах (AB и CD), то точки M и K разбиты на равные части по отношению к длине отрезков на этих сторонах. Это эквивалентно тому, что точки M и K являются точками, которые равномерно делят стороны AB и CD.
7. В параллелограмме, диагонали пересекаются и делятся пополам. Поэтому точка O, которая является точкой пересечения диагоналей, также делит отрезки M и K на равные части, так как в любом параллелограмме отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (в данном случае M и K), будут проходить через точку пересечения диагоналей.
8. Теперь покажем это более формально. Если AM = SK, то мы можем сказать, что M и K связаны такой же пропорцией как точка пересечения диагоналей. То есть, когда M и K перемещаются по своим сторонам, они будут всегда расположены на прямой, которая проходит через точку пересечения диагоналей, так как эта прямая будет пересекать точки, которые симметрично расположены относительно диагоналей.
Ответ:
Отрезок MK проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.