Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O.
- Через точку O проведены две произвольные прямые, которые пересекают стороны параллелограмма ABCD в точках P, Q, R и S соответственно.
Найти:
- Доказать, что точки P, Q, R и S образуют новый параллелограмм.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения прямых с параллелограммом:
- Прямая 1 пересекает стороны AB и CD в точках P и Q.
- Прямая 2 пересекает стороны AD и BC в точках R и S соответственно.
2. Рассмотрим точки пересечения:
- Прямая 1 пересекает AB и CD, значит P и Q лежат на этих сторонах.
- Прямая 2 пересекает AD и BC, значит R и S лежат на этих сторонах.
3. Так как точки P и Q лежат на параллельных сторонах AB и CD соответственно, отрезки PQ и CD параллельны и равны, так как в параллелограмме противоположные стороны равны.
4. Аналогично, отрезки RS и AB также параллельны и равны.
5. Таким образом, отрезки PQ и RS параллельны и равны, а отрезки PR и QS тоже параллельны и равны.
6. Поскольку точки P, Q, R и S расположены так, что противоположные стороны PQ и RS, PR и QS параллельны и равны, это означает, что четырехугольник PQRS — параллелограмм.
Ответ:
Точки пересечения прямых с сторонами параллелограмма ABCD образуют новый параллелограмм.