Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- S1, S2, S3 и S4 - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
Найти:
Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником при условии, что ромб S1S2S3S4 образован серединой его сторон.
Решение:
1. Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) - координаты вершин параллелограмма ABCD.
2. Найдем координаты середины каждой стороны:
- S1 (середина AB):
S1 = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
- S2 (середина BC):
S2 = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)
- S3 (середина CD):
S3 = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
- S4 (середина DA):
S4 = ((x4 + x1)/2, (y4 + y1)/2)
3. Теперь найдем длины сторон ромба S1S2, S2S3, S3S4, S4S1. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:
d(S1, S2) = √(((x2 + x3)/2 - (x1 + x2)/2)^2 + ((y2 + y3)/2 - (y1 + y2)/2)^2)
= √(((x3 - x1)/2)^2 + ((y3 - y1)/2)^2).
Аналогично, можно найти другие стороны:
d(S2, S3) = d(S1, S2),
d(S3, S4) = d(S2, S3),
d(S4, S1) = d(S3, S4).
4. Таким образом, все стороны ромба равны, что означает, что S1S2S3S4 является равносторонним. Если ромб является равносторонним, это также означает, что его углы равны 90 градусов.
5. Поскольку S1S2S3S4 имеет все углы равными, мы можем утверждать, что углы между сторонами параллелограмма ABCD тоже равны 90 градусов.
6. Таким образом, если углы параллелограмма ABCD равны 90 градусов, то ABCD является прямоугольником.
Ответ:
Параллелограмм ABCD является прямоугольником.