Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- S1, S2, S3 и S4 - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно, образующие прямоугольник S1S2S3S4.
Найти:
Докажите, что параллелограмм ABCD является ромбом.
Решение:
1. Пусть A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) - координаты вершин параллелограмма ABCD.
2. Найдем координаты середины каждой стороны:
- S1 (середина AB):
S1 = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
- S2 (середина BC):
S2 = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)
- S3 (середина CD):
S3 = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
- S4 (середина DA):
S4 = ((x4 + x1)/2, (y4 + y1)/2)
3. Поскольку S1S2S3S4 является прямоугольником, это значит, что его стороны перпендикулярны и равны между собой.
4. Рассмотрим векторы:
- Вектор S1S2 = S2 - S1 = ((x2 + x3)/2 - (x1 + x2)/2, (y2 + y3)/2 - (y1 + y2)/2) = ((x3 - x1)/2, (y3 - y1)/2).
- Вектор S3S4 = S4 - S3 = ((x4 + x1)/2 - (x3 + x4)/2, (y4 + y1)/2 - (y3 + y4)/2) = ((x1 - x3)/2, (y1 - y3)/2).
5. Для того чтобы эти векторы были перпендикулярны, должно выполняться следующее условие:
(S1S2)•(S3S4) = 0,
где "•" обозначает скалярное произведение.
6. Скалярное произведение:
((x3 - x1)/2) * ((x1 - x3)/2) + ((y3 - y1)/2) * ((y1 - y3)/2) = 0.
Упрощая, получаем:
(x3 - x1)(x1 - x3) + (y3 - y1)(y1 - y3) = 0,
что означает, что:
|(x3 - x1)|^2 + |(y3 - y1)|^2 = 0.
7. Это возможно только в том случае, если |x3 - x1| = 0 и |y3 - y1| = 0, что указывает на то, что стороны параллелограмма равны и диагонали пересекаются под прямым углом.
8. Таким образом, все стороны параллелограмма ABCD равны. Параллелограмм с равными сторонами называется ромбом.
Ответ:
Параллелограмм ABCD является ромбом.