Дано:
- Квадрат ABCD со сторонами равной длины.
- Две соседние вершины, например A и B, "скользят" по двум перпендикулярным сторонам прямого угла (например, по оси x и оси y).
Найти:
Докажите, что центр квадрата все время находится на биссектрисе этого угла.
Решение:
1. Обозначим длину стороны квадрата как L. В начальный момент времени координаты вершин будут:
- A(0, 0)
- B(L, 0)
- C(L, L)
- D(0, L)
2. При движении вершин A и B по сторонам перпендикулярного угла, будем обозначать их новые координаты как:
- A(x_A, 0), где 0 ≤ x_A ≤ L.
- B(L, y_B), где 0 ≤ y_B ≤ L.
3. Центр квадрата будет находиться в точке O. Координаты точки O определяются как среднее арифметическое координат вершин:
O = ((x_A + L)/2, (0 + y_B)/2).
4. Чтобы доказать, что центр O всегда находится на биссектрисе угла, рассмотрим угол, образованный осями координат, который равен 90°. Биссектрисой этого угла является прямая y = x.
5. Подставляя координаты центра O в уравнение биссектрисы, получаем:
(0 + y_B) / 2 = (x_A + L) / 2.
6. Следовательно, для нахождения центра квадрата необходимо, чтобы выполнялось равенство:
y_B = x_A + L.
7. Таким образом, при любом изменении координат A и B, координаты центра O всегда удовлетворяют условию, при котором он будет находиться на биссектрисе угла.
Ответ:
Центр квадрата все время находится на биссектрисе угла, образованного сторонами, когда две соседние вершины квадрата скользят по сторонам прямого угла.