Дано:
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Вершины A и B "скользят" по сторонам, образующим прямой угол (например, по осям координат).
Найти:
Докажите, что третья вершина C движется по прямой.
Решение:
1. Обозначим положение вершин A и B в системе координат. Пусть A имеет координаты (x_A, 0), а B — (0, y_B), где x_A и y_B - это расстояния от начала координат до точек A и B соответственно.
2. Поскольку A и B находятся на осях координат, можно записать их координаты как:
- A(x, 0) на оси X
- B(0, y) на оси Y
3. Координаты точки C, которая является вершиной прямого угла, можно выразить как:
C(x, y), где x - это абсцисса точки A, а y - ордината точки B.
4. Здесь важно заметить, что для любого значения x_A, y_B, выполняется соотношение:
x_A * y_B = k, где k - постоянная величина, равная площади прямоугольного треугольника ABC, если рассматривать его изменяемые координаты.
5. Так как A и B меняют свои позиции по осям, то, соответственно, x и y находятся в зависимости друг от друга. Это значит, что изменение одной координаты (например, x) будет влиять на изменение другой координаты (y).
6. Если мы рассмотрим соотношение между x и y, то получим уравнение вида:
y = k/x, где k - константа. Это уравнение представляет собой гиперболу, но если зафиксировать значение одной из переменных, например, y, мы можем выразить x через y линейно.
7. Таким образом, когда A и B изменяют свои координаты, хотя бы одна из них остается фиксированной, и эта зависимость сохраняет связь между x и y.
8. Следовательно, когда A и B скользят по своим осям, третья вершина C остается на линии, проходящей через точки A и B, что означает, что C движется по прямой.
Ответ:
Третья вершина C движется по прямой.