Дано: равнобокая трапеция ABCD, где основания AB и CD равны 2 и 5 соответственно. Диагональ образует угол 45° с основаниями. Найти: высоту трапеции.
Решение:
1. Обозначим высоту трапеции как h. Площадь трапеции можно выразить через высоту и основания:
S = 1/2 * (a + b) * h,
где a = 2, b = 5.
S = 1/2 * (2 + 5) * h,
S = 7/2 * h.
2. В равнобокой трапеции диагональ делит ее на два треугольника. Поскольку угол между диагональю и основаниями равен 45°, треугольники являются прямоугольными. Обозначим боковые стороны трапеции как c.
3. Для вычисления высоты используем тригонометрические свойства. Если диагональ делает угол 45° с основанием, то высота равна боковой стороне умноженной на синус 45°:
h = c * sin(45°).
Значение sin(45°) равно √2 / 2.
h = c * (√2 / 2).
4. Теперь найдем боковую сторону c. В равнобокой трапеции длина диагонали можно выразить через высоту и основания с помощью теоремы Пифагора для треугольников, образованных высотой и половинами разности оснований:
(b - a) / 2 = (5 - 2) / 2 = 1.5.
Используем теорему Пифагора:
c^2 = (b - a)² / 4 + h²,
c² = 1.5² + h²,
c² = 2.25 + h².
5. Подставляем значение h из предыдущего уравнения:
c² = 2.25 + (c * √2 / 2)²,
c² = 2.25 + (c² * 2) / 4,
c² = 2.25 + c² / 2,
c² - c² / 2 = 2.25,
c² / 2 = 2.25,
c² = 4.5,
c = √4.5 ≈ 2.12.
6. Найдем высоту h:
h = c * (√2 / 2),
h ≈ 2.12 * (√2 / 2),
h ≈ 2.12 * 0.707,
h ≈ 1.5.
Ответ: высота трапеции равна 1.5.