Дано: треугольник ABC. M, N и P - середины сторон BC, CA и AB соответственно. H - основание высоты, проведенной из вершины A к основанию BC.
Найти: доказать, что точки M, N, P и H образуют равнобокую трапецию.
Решение:
1. Сначала докажем, что M и N соединены отрезком, который параллелен отрезку AP, а также что отрезок MN равен половине отрезка AP.
2. Треугольник ABC разделен медианами и высотами. Поскольку M и N - середины сторон, отрезок MN будет параллелен стороне AB (по свойству медиан) и в два раза короче ее.
3. Высота AH перпендикулярна основанию BC. Так как M и N - середины сторон, отрезок MN и высота AH также образуют равные углы с основанием.
4. Треугольник AMN подобен треугольнику AHB по углам (так как MN и AH параллельны и перпендикулярны, соответственно). Из этого следует, что отрезок MN = 1/2 * AP и параллелен высоте AH, что и подтверждает, что трапеция MNPQ равнобокая.
Ответ: Середины всех сторон треугольника и основание любой его высоты образуют равнобокую трапецию.