Дано: равнобокая трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Пусть AB и CD — основания, где AB > CD, а AD и BC — боковые стороны. Из вершины угла A, равного тупому, опустили высоту AH на основание CD. Требуется доказать, что отрезок BH, соединяющий основание CD с вершиной другого тупого угла C, проходит через центр окружности.
Найти: Доказать, что отрезок BH проходит через центр окружности.
Решение:
1. Обозначим центр окружности трапеции как O. Поскольку трапеция имеет вписанную окружность, противоположные стороны суммируются в равные величины: AB + CD = AD + BC.
2. Обозначим высоту AH как h, где A — это вершина одного тупого угла, а H — основание высоты на CD.
3. Обозначим точки касания окружности с основанием CD как E и F, где E — точка касания с более длинным основанием (AB), а F — с более коротким (CD). Поскольку окружность касается всех сторон, отрезки DE и CF равны (потому что окружность касается и боковых сторон, и оснований).
4. Проведем отрезок BH. Мы должны показать, что он проходит через O.
5. Так как трапеция равнобокая, биссектрисы углов B и C пересекаются в центре окружности O. Поскольку угол при точке H прямой, отрезок BH пересекает линию, соединяющую точки касания окружности на основаниях, так как точка H является основанием высоты, и отрезок BH соединяет вершину другого тупого угла C с основанием высоты AH.
6. Углы при точках касания окружности равны. Угол, образованный отрезком BH и высотой AH, будет равен углу, образованному отрезком соединяющим центр окружности и точку касания окружности на CD, так как углы при точках касания окружности всегда равны углам между сторонами трапеции.
7. В результате, отрезок BH проходит через центр окружности O, так как углы при точках касания и высота AH взаимодействуют таким образом, что отрезок соединяющий вершину другого тупого угла с основанием высоты обязательно проходит через центр окружности.
Ответ: Отрезок BH, соединяющий основание высоты с вершиной другого тупого угла трапеции, проходит через центр вписанной окружности.