Дано:
- Основания трапеции: a = 1 см, b = 25 см.
- В трапецию можно вписать окружность.
- Трапецию вращают вокруг прямой, содержащей её большее основание (b = 25 см).
Найти: объём тела, образовавшегося при вращении трапеции вокруг большего основания.
Решение:
1. Условия задачи предполагают, что трапеция имеет вписанную окружность. Это означает, что сумма длин её противоположных сторон равна между собой:
a + b = 2h,
где h — высота трапеции.
Из этого уравнения можно найти высоту трапеции:
h = (a + b) / 2 = (1 + 25) / 2 = 13 см.
2. Теперь определим радиус основания полученного тела вращения. При вращении трапеции вокруг её большего основания (b = 25 см) образуется тело, напоминающее усечённый конус. Радиус верхней окружности этого усечённого конуса будет равен высоте трапеции (h), то есть 13 см.
3. Формула для объёма усечённого конуса (тела вращения) выглядит следующим образом:
V = (1/3) * π * h * (R² + Rr + r²),
где R — радиус большего основания, r — радиус меньшего основания, h — высота усечённого конуса.
4. В нашем случае:
R = b = 25 см,
r = a = 1 см,
h = 13 см.
5. Подставим все данные в формулу для объёма:
V = (1/3) * π * 13 * (25² + 25 * 1 + 1²)
= (1/3) * π * 13 * (625 + 25 + 1)
= (1/3) * π * 13 * 651
= (1/3) * π * 8463
= 2821π см³.
Ответ: объём тела, образовавшегося при вращении трапеции, равен 2821π см³, что примерно равно 8856,1 см³.