Дано:
a = 3 см - длина меньшего основания трапеции. b = 4 см - длина большего основания трапеции. α = 45° - острый угол трапеции.
Найти:
S - площадь поверхности тела вращения.
Решение:
При вращении трапеции вокруг меньшего основания образуется тело, состоящее из цилиндра и усеченного конуса.
Высота трапеции h равна разности оснований, умноженной на тангенс острого угла:
h = (b - a) * tg(α) = (4 - 3) * tg(45°) = 1 * 1 = 1 см
Площадь боковой поверхности цилиндра:
Sc = 2πrh = 2π * (a/2) * h = 2π * (3/2) * 1 = 3π см²
Радиус большего основания усеченного конуса R1 = b/2 = 4/2 = 2 см. Радиус меньшего основания усеченного конуса R2 = a/2 = 3/2 = 1.5 см.
Образующая усеченного конуса l вычисляется по теореме Пифагора:
l^2 = h^2 + (R1 - R2)^2 = 1^2 + (2 - 1.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25
l = √1.25 см
Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
Su = π(R1 + R2)l = π(2 + 1.5)√1.25 = 3.5π√1.25 см²
Общая площадь поверхности тела вращения:
S = Sc + Su = 3π + 3.5π√1.25 ≈ 3π + 3.5π * 1.118 ≈ 3π + 3.913π ≈ 6.913π см²
Ответ:
Приблизительно 6.913π см²