Дано: Равнобокая трапеция ABCD, в которой окружность касается всех сторон. Пусть AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны.
Найти: Верно ли, что средняя линия трапеции равна боковой стороне.
Решение:
1. Поскольку окружность касается всех сторон трапеции, трапеция является вписанной. Это значит, что сумма длин противоположных сторон равна: AB + CD = AD + BC.
2. Средняя линия трапеции, которая соединяет середины боковых сторон AD и BC, равна полусумме оснований: (AB + CD) / 2.
3. Подставим выражение для средней линии в равенство сумм противоположных сторон:
Средняя линия = (AB + CD) / 2.
4. Из условия, что AB + CD = AD + BC, подставляем это в формулу средней линии:
Средняя линия = (AB + CD) / 2 = (AD + BC) / 2.
5. Поскольку AB и CD — основания равнобокой трапеции, равенство средней линии и боковой стороны будет выполнено, если AD = BC.
Ответ: Да, средняя линия равнобокой трапеции равна боковой стороне, если окружность касается всех сторон трапеции.