Дано:
Треугольник ABC с высотами AM и CK, точка O — центр его описанной окружности. M — основание высоты AM на стороне BC, K — основание высоты CK на стороне AB.
Найти:
Докажите, что BO перпендикулярно MK.
Решение:
1. По определению, центр описанной окружности треугольника O — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.
2. Высота AM перпендикулярна стороне BC, а высота CK перпендикулярна стороне AB. Это означает, что угол AMC равен 90°, а угол CKM также равен 90°.
3. Мы знаем, что точка O является центром окружности и находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника A, B и C.
4. В треугольнике ABC проведем диагонали OM и OK. Поскольку высоты AM и CK являются перпендикулярами, точки M и K будут находиться на окружности с центром O.
5. Рассмотрим треугольники OMB и OKC. Эти треугольники являются равными по двум углам (аксиома равенства треугольников), так как:
- ∠OMB = ∠OKC = 90° (по свойству высот)
- OA = OC (радиусы описанной окружности).
6. Следовательно, отрезки OM и OK равны, а углы ∠OMB и ∠OKC равны.
7. Из этого свойства следует, что прямая BO будет перпендикулярна отрезку MK, поскольку она соединяет центр окружности с точками M и K, находящимися на окружности.
8. Таким образом, поскольку KM и BO пересекаются под прямым углом, мы приходим к выводу, что BO перпендикулярно MK.
Ответ:
BO перпендикулярно MK.