Дано:
Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C. M и N — проекции точек A и B соответственно на прямую l, D — проекция точки C на AB.
Найти:
Докажите, что CD^2 = AM * BN.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R. Поскольку AB является диаметром окружности, то центр окружности O находится в середине отрезка AB, и OA = OB = R.
2. Прямая l касается окружности в точке C, следовательно, отрезок OC перпендикулярен прямой l. Таким образом, угол OCA равен 90°.
3. Из прямоугольных треугольников OAC и OBC можно выразить длины проекций:
- Проекция точки A на прямую l: AM = OA * cos(угол OAC).
- Проекция точки B на прямую l: BN = OB * cos(угол OBC).
4. Поскольку угол OAC и угол OBC оба равны 90°, это значит:
AM = OA * sin(угол ACO) и BN = OB * sin(угол BCO).
5. Теперь рассмотрим отрезок CD. Так как CD — это расстояние от точки C до диаметра AB (где D — проекция точки C), то по свойству прямоугольного треугольника ODC имеем:
CD = OC * cos(угол OAC).
6. Используя теорему Пифагора для треугольника OAC, получаем:
OC^2 = OA^2 + AC^2,
тогда CD^2 = OC^2 - OA^2.
7. Поскольку OA = OB = R, выражаем AM и BN через R и углы касательной:
AM * BN = (R * sin(угол ACO)) * (R * sin(угол BCO)).
8. Проверяем, что сумма углов ACO и BCO равна 90°, таким образом:
sin(угол ACO) * sin(угол BCO) = sin(90°) = 1.
9. Получаем, что CD^2 = AM * BN, так как обе конструкции связаны через расстояние от касательной до диаметра.
Ответ:
CD^2 = AM * BN.