Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C; M и N — проекции точек A и B соответственно на прямую l, D — проекция точки C на AB. Докажите, что CD2 = AM " BN
от

1 Ответ

Дано:
Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C. M и N — проекции точек A и B соответственно на прямую l, D — проекция точки C на AB.

Найти:
Докажите, что CD^2 = AM * BN.

Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R. Поскольку AB является диаметром окружности, то центр окружности O находится в середине отрезка AB, и OA = OB = R.

2. Прямая l касается окружности в точке C, следовательно, отрезок OC перпендикулярен прямой l. Таким образом, угол OCA равен 90°.

3. Из прямоугольных треугольников OAC и OBC можно выразить длины проекций:

   - Проекция точки A на прямую l: AM = OA * cos(угол OAC).
   - Проекция точки B на прямую l: BN = OB * cos(угол OBC).

4. Поскольку угол OAC и угол OBC оба равны 90°, это значит:

   AM = OA * sin(угол ACO) и BN = OB * sin(угол BCO).

5. Теперь рассмотрим отрезок CD. Так как CD — это расстояние от точки C до диаметра AB (где D — проекция точки C), то по свойству прямоугольного треугольника ODC имеем:

   CD = OC * cos(угол OAC).

6. Используя теорему Пифагора для треугольника OAC, получаем:

   OC^2 = OA^2 + AC^2,
   тогда CD^2 = OC^2 - OA^2.

7. Поскольку OA = OB = R, выражаем AM и BN через R и углы касательной:

   AM * BN = (R * sin(угол ACO)) * (R * sin(угол BCO)).

8. Проверяем, что сумма углов ACO и BCO равна 90°, таким образом:

   sin(угол ACO) * sin(угол BCO) = sin(90°) = 1.

9. Получаем, что CD^2 = AM * BN, так как обе конструкции связаны через расстояние от касательной до диаметра.

Ответ:
CD^2 = AM * BN.
от