Дано: Треугольник ABC. На стороне BC выбрана точка K так, что отношение BK : KC = 1 : 4. Отрезок AK пересекает медиану BM треугольника в точке O.
Найти: Какую часть площади треугольника ABC составляет треугольник BOK?
Решение:
1. Пусть S обозначает площадь треугольника ABC. Мы хотим найти, какую часть этой площади составляет треугольник BOK.
2. Отметим, что медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника равной площади, то есть площадь треугольника ABM равна площади треугольника BCM и составляет половину площади треугольника ABC:
S_ABM = S_BCM = S / 2.
3. Точка K делит сторону BC в отношении 1 : 4. Это означает, что отрезок AK делит треугольник ABC на две части, в которых площадь треугольника AKC будет в 4 раза больше площади треугольника AKB:
S_AKC = 4 * S_AKB.
4. В треугольнике ABK площадь треугольника BOK относительно площади треугольника ABK пропорциональна отрезку BM и точке пересечения O, которая делит медиану BM в отношении 2:1 (так как O — точка пересечения медианы с отрезком AK). Таким образом, площадь треугольника BOK составляет 1/6 площади треугольника BKC:
S_BOK = 1 / 6 * S_BKC.
5. Площадь треугольника BKC равна 4 / 5 * площади треугольника BMC, и поскольку S_BMC = S / 2, то:
S_BKC = 4 / 5 * (S / 2) = 2 / 5 * S.
6. Следовательно, площадь треугольника BOK составляет 1 / 6 * 2 / 5 * S = 1 / 15 * S.
Ответ: Площадь треугольника BOK составляет 1 / 15 площади треугольника ABC.