Дано: треугольник ABC, точка K на стороне AC такая, что 2AK = CK. Отрезок BK пересекает медиану AE треугольника в точке O. Площадь треугольника ABC равна 1.
Найти: площадь треугольника BOE.
Решение:
1. Поскольку 2AK = CK, то AK = (1/3)AC и CK = (2/3)AC. Это означает, что точка K делит сторону AC в отношении 1:2.
2. Медиана AE делит треугольник ABC на два треугольника равных по площади, то есть площадь треугольника ABE и площадь треугольника AEC равны 1/2 площади треугольника ABC.
3. Из свойства медиан треугольника следует, что медиана AE пересекается с отрезком BK в точке O, которая делит медиану AE в отношении 2:1. Точка O находится на медиане AE в таком отношении, что область треугольника BOE пропорциональна площади треугольника BOC и площади треугольника AOC.
4. Площадь треугольника BOE можно найти, зная, что точка O делит треугольник BOE на части. Треугольник BOC и треугольник AOC имеют равные площади, так как медиана делит треугольник ABC на равные по площади треугольники.
5. Площадь треугольника BOE составляет 1/6 площади треугольника ABC, поскольку точка O делит треугольник на части, каждая из которых имеет площадь 1/6 от всей площади треугольника ABC.
Ответ: Площадь треугольника BOE равна 1/6.