Дано: треугольник ABC, в котором проведена биссектрису BE. На стороне BC взята точка K так, что угол BEK прямой. AB = a, BC = b, при этом a < b.
Найти: длину отрезка BK.
Решение:
1. По теореме о биссектрисе, мы знаем, что отношение сторон AB и AC (где AC = c) равно отношению отрезков, на которые делит биссектрисы точку E:
AE/EC = AB/AC = a/c.
2. В данном случае, поскольку углу BEK равен 90°, можно использовать соотношение в прямоугольном треугольнике BEK.
3. Рассмотрим треугольник BEK:
tg(BEK) = EK / BK.
4. Так как угол BEK - прямой, то угол ABE будет равен 90° - угол BEK, а значит:
tg(ABE) = AB / AE = a / (b - BK).
5. Из условия биссектрисы и прямого угла, можно записать следующее соотношение:
tan(BEK) = a / (b - BK) = BK / EK.
6. Приравняем оба выражения для тангенса:
a / (b - BK) = BK / EK.
7. Перепишем уравнение:
a * EK = BK * (b - BK).
8. Выразим EK через BK:
EK = b - BK * (a / BK).
9. Подставляя значение EK:
a * (b - BK * (a / BK)) = BK * (b - BK).
10. Приведя подобные члены, получаем:
ab - a * BK * (a / BK) = BK * b - BK²,
или
ab - a² = BK * b - BK².
11. Это квадратное уравнение относительно BK:
BK² - b * BK + a² = 0.
12. Найдем корни этого уравнения по формуле:
BK = (b ± √(b² - 4a²)) / 2.
Поскольку a < b, выбираем положительный корень.
Ответ:
BK = (b - √(b² - 4a²)) / 2.