Дано: квадрат ABCD со стороной a, прямая проходит через вершину A и образует с стороной AB угол α, где sin(α) = 0,6.
Найти: расстояние от вершины D до данной прямой.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин квадрата:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
2. Угол α между стороной AB (горизонтальной осью) и прямой можно выразить через угол наклона прямой. Угловой коэффициент m этой прямой будет равен tan(α).
3. Известно, что sin(α) = 0,6, следовательно, cos(α) можно найти из основного тригонометрического тождества:
cos(α) = sqrt(1 - sin^2(α)) = sqrt(1 - 0,6^2) = sqrt(1 - 0,36) = sqrt(0,64) = 0,8.
4. Теперь можем рассчитать tan(α):
tan(α) = sin(α) / cos(α) = 0,6 / 0,8 = 0,75.
5. Уравнение прямой, проходящей через точку A(0, 0) с угловым коэффициентом m = 0,75:
y = 0,75x.
6. Найдем расстояние от точки D(0, a) до данной прямой. Формула для расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 имеет вид:
расстояние = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
7. Приведем уравнение прямой к нужному виду:
0,75x - y + 0 = 0.
Следовательно, A = 0,75, B = -1, C = 0.
8. Подставим координаты точки D(0, a):
расстояние = |0,75 * 0 - 1 * a + 0| / sqrt(0,75^2 + (-1)^2) = | - a | / sqrt(0,5625 + 1) = a / sqrt(1,5625).
9. Упростим:
sqrt(1,5625) = 1,25, значит:
расстояние = a / 1,25 = 0,8a.
Ответ:
Расстояние от вершины D до данной прямой равно 0,8a.