Дано:
1. Угол обзора с точки A к вершине башни равен 30°.
2. Угол обзора с точки B к вершине башни равен 45°.
3. Расстояние между точками A и B равно 100 м.
Найти:
Высоту башни h.
Решение:
1. Обозначим высоту башни как h, расстояние от точки A до основания башни как x, а от точки B до основания башни как y.
Так как A и B находятся на одной прямой линии, то:
x + y = 100 м.
2. Используем тригонометрические функции для определения высоты h.
Из треугольника, образованного точкой A, основанием башни и вершиной башни, имеем:
tan(30°) = h / x.
Поскольку tan(30°) = 1/√3, то:
h = x / √3.
3. Из треугольника, образованного точкой B, основанием башни и вершиной башни, имеем:
tan(45°) = h / y.
Поскольку tan(45°) = 1, то:
h = y.
4. Теперь у нас есть две формулы для h:
h = x / √3,
h = y.
Подставим y из второго уравнения в первое:
y = 100 - x.
5. Подставляем это значение во вторую формулу:
h = 100 - x.
Таким образом, у нас есть система уравнений:
x / √3 = 100 - x.
6. Перепишем уравнение:
x / √3 + x = 100,
x(1 + √3) / √3 = 100.
7. Умножим обе стороны на √3:
x(1 + √3) = 100√3.
8. Найдем x:
x = 100√3 / (1 + √3).
9. Теперь подставим x обратно в любую из формул для h, например, h = x / √3:
h = (100√3 / (1 + √3)) / √3,
h = 100 / (1 + √3).
10. Упростим выражение:
h = 100 / (1 + √3) * (1 - √3) / (1 - √3),
h = 100(1 - √3) / (1 - 3) = 100(1 - √3) / (-2),
h = -50(1 - √3).
11. Высота будет положительной, поэтому:
h = 50(√3 - 1).
Ответ:
Высота башни равна 50(√3 - 1) метров.