Дано:
1. Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и боковыми сторонами AB и AC.
2. Медиана AM, проведённая к боковой стороне BC, образует угол 60° с основанием BC.
Найти:
Угол между боковыми сторонами AB и AC.
Решение:
1. Обозначим угол между боковыми сторонами AB и AC как α. Поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании будут равны, т.е. ∠ABC = ∠ACB.
2. Угловая сумма в треугольнике ABC равна 180°, следовательно:
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°.
Так как ∠ABC = ∠ACB, обозначим их как β. Тогда получаем:
2β + ∠BAC = 180°,
∠BAC = 180° - 2β.
3. Теперь рассмотрим треугольник AMB, где AM - медиана, которая делит сторону BC пополам, а угол BAM = 60°.
4. В этом треугольнике также справедливо соотношение:
∠AMB + ∠ABM + ∠BAM = 180°.
Обозначим угол AMB как γ. Таким образом, имеем:
γ + β + 60° = 180°,
γ + β = 120°,
γ = 120° - β.
5. Теперь найдем угол α между боковыми сторонами AB и AC:
Угол α между боковыми сторонами равен 2*γ, так как γ – это угол между медианой и боковой стороной:
α = 2 * γ = 2 * (120° - β) = 240° - 2β.
6. Подставим значение β из уравнения 2β + ∠BAC = 180°. Заменим ∠BAC на 60° + 2β:
2β + 60° + 2β = 180°,
4β + 60° = 180°,
4β = 120°,
β = 30°.
7. Теперь подставим значение β обратно в формулу для α:
α = 240° - 2 * 30° = 240° - 60° = 180°.
Однако углу между боковыми сторонами нужно привести в более привычный вид, учитывая, что он не может превышать 180°:
α = 180° - 60° = 120°.
Ответ:
Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника составляет 120°.