Дано:
1. Выпуклый шестиугольник ABCDEF.
2. Проведены диагонали, соединяющие не соседние вершины шестиугольника.
Найти:
Существует ли шестиугольник, образованный серединой этих диагоналей, и равна ли его площадь 1/4 площади исходного шестиугольника.
Решение:
1. Обозначим середины диагоналей как M1, M2, M3, M4, M5, M6 соответственно. Эти точки будут являться вершинами нового шестиугольника.
2. По свойству средних линий в трапеции (а также по аналогичному свойству для многоугольников) известно, что линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна основанию и равна половине длины этого основания. Поскольку мы имеем дело с выпуклым шестиугольником, аналогичное утверждение будет справедливо для каждого из треугольников, образованных углами шестиугольника и соответствующими диагоналями.
3. Это значит, что каждая сторона нового шестиугольника будет равна половине соответствующей стороны большого шестиугольника.
4. Площадь многоугольника пропорциональна квадрату его сторон. Если стороны нового шестиугольника в два раза короче сторон исходного, то площадь нового шестиугольника будет в 4 раза меньше площади исходного.
5. Таким образом, если S - площадь исходного шестиугольника, то площадь шестиугольника, образованного серединами диагоналей, будет равна S/4.
Ответ:
Площадь шестиугольника, образованного серединами диагоналей, в 4 раза меньше площади исходного шестиугольника.