Дано:
1. Сторона квадрата ABCD равна 4.
Найти:
Радиус окружности, проходящей через середину стороны AB, центр квадрата и вершину C.
Решение:
1. Обозначим центр квадрата как O, середину стороны AB как M, а вершину C как C.
2. Координаты точек:
- Положим, что вершины квадрата имеют координаты: A(0,0), B(4,0), C(4,4) и D(0,4).
- Центр квадрата O будет в середине, т.е. O(2,2).
- Середина стороны AB, M, будет в (2,0).
3. Нужно найти радиус окружности, проходящей через точки M(2,0), O(2,2) и C(4,4). Для этого воспользуемся формулой радиуса окружности, описанной вокруг треугольника:
Радиус R описанной окружности равен:
R = (a * b * c) / (4 * S)
где a, b и c - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника.
4. Найдем длины сторон треугольника MOC и его площадь:
- Длина MO = √((2-2)^2 + (2-0)^2) = √(0 + 4) = 2
- Длина OC = √((4-2)^2 + (4-2)^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2
- Длина MC = √((4-2)^2 + (4-0)^2) = √(4 + 16) = √20 = 2√5
5. Площадь треугольника MOC:
- Используем формулу площади через координаты:
S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
- Подставляем координаты M(2,0), O(2,2), C(4,4):
S = 0.5 * |2(2 - 4) + 2(4 - 0) + 4(0 - 2)|
= 0.5 * |2(-2) + 2(4) + 4(-2)|
= 0.5 * |-4 + 8 - 8|
= 0.5 * |-4|
= 2
6. Подставляем значения в формулу радиуса:
R = (2 * 2√2 * 2√5) / (4 * 2)
= (4 * √10) / 8
= √10 / 2
Ответ:
Радиус окружности равен √10 / 2.