дано:
- катет a = 6 см.
- катет b = 16 см.
найти:
- радиус окружности R, проходящей через вершину прямого угла, середину большего катета и вершину острого угла, противоположного этому катету.
решение:
1. Обозначим вершины прямоугольного треугольника:
- A — вершина прямого угла.
- B — вершина, соответствующая катету b = 16 см.
- C — вершина, соответствующая катету a = 6 см.
2. Найдем длину гипотенузы c:
c = √(a² + b²) = √(6² + 16²) = √(36 + 256) = √292 = 2√73 см.
3. Найдем середину большего катета (катет b):
- S = (0, 16) (по оси y, если A = (0, 0) и B = (0, 16)).
- Середина катета b: M = (0, 8).
4. Вершина острого угла, противоположного большему катету (катет b), это точка A = (0, 0).
5. Теперь найдем радиус окружности R, проходящей через точки A, M и C. Для этого воспользуемся формулой для радиуса окружности, описанной около треугольника:
R = (abc) / (4S), где S — площадь треугольника.
6. Найдем площадь S треугольника ABC:
S = (1/2) * a * b = (1/2) * 6 * 16 = 48 см².
7. Найдем длину стороны AC (гипотенуза):
AC = c = 2√73 см.
8. Теперь найдем R:
- a = 6 см,
- b = 16 см,
- c = 2√73 см.
9. Подставим значения в формулу:
R = (6 * 16 * 2√73) / (4 * 48).
10. Упростим:
R = (192√73) / 192 = √73 см.
ответ:
- Радиус окружности, проходящей через вершину прямого угла, середину большего катета и вершину острого угла, равен R = √73 см.