дано:
- катеты прямоугольного треугольника: a = 6 см, b = 16 см.
найти:
- диаметр окружности, проходящей через вершину прямого угла, вершину большего острого угла и середину большего катета.
решение:
1. Обозначим:
- C — вершина прямого угла.
- A — вершина большего острого угла (угол, противолежащий катету b).
- B — вершина меньшего острого угла (угол, противолежащий катету a).
- M — середина большего катета (катет b).
2. Найдем длину большего катета b = 16 см, а его середину M:
M делит b пополам, значит:
CM = b / 2 = 16 / 2 = 8 см.
3. Теперь найдем расстояние от точки A до точки M. Для этого сначала найдем длину гипотенузы AB:
AB = √(a² + b²) = √(6² + 16²) = √(36 + 256) = √292 = 2√73 см.
4. Теперь найдем угол A. Используем отношение:
sin(A) = a / AB = 6 / (2√73) = 3 / √73.
5. Теперь можем найти угол MCB. Так как CM является высотой, проведенной из точки C на сторону AB, то угол MCB равен 90°.
6. Теперь воспользуемся формулой для диаметра окружности (D), проходящей через три точки:
D = (AB * AC * BC) / (4 * S),
где S — площадь треугольника.
7. Площадь треугольника S можно найти по формуле:
S = (1/2) * a * b = (1/2) * 6 * 16 = 48 см².
8. Теперь подставим значения в формулу для D:
AB = 2√73, AC = 16, BC = 6.
9. Теперь найдем D:
D = ((2√73) * 16 * 6) / (4 * 48).
10. Упростим:
D = (192√73) / 192 = √73 см.
ответ:
- Диаметр окружности, проходящей через вершину прямого угла, вершину большего острого угла и середину большего катета, равен D = √73 см.