дано:
- катеты прямоугольного треугольника: a = 9 см, b = 24 см.
найти:
- радиус окружности, проходящей через вершину прямого угла, вершину большего острого угла и середину большего катета.
решение:
1. Обозначим:
- C — вершина прямого угла.
- A — вершина большего острого угла (угол, противолежащий катету b).
- B — вершина меньшего острого угла (угол, противолежащий катету a).
- M — середина большего катета (катет b).
2. Найдем длину большего катета b = 24 см, а его середину M:
M делит b пополам, значит:
CM = b / 2 = 24 / 2 = 12 см.
3. Теперь найдем длину гипотенузы AB:
AB = √(a² + b²) = √(9² + 24²) = √(81 + 576) = √657 см.
4. Теперь найдем угол A. Используем тангенс:
tg(A) = b / a = 24 / 9.
5. Найдем угол B:
∠B = arctan(9/24).
6. Теперь можем найти радиус R окружности, проходящей через точки C, A и M. Для этого используем формулу для радиуса окружности, проходящей через три точки:
R = (AC * AB * CM) / (4 * S), где S — площадь треугольника.
7. Площадь S можно найти по формуле:
S = (1/2) * a * b = (1/2) * 9 * 24 = 108 см².
8. Теперь подставим значения для R:
AC = 24 см (катет), AB = √657 см, CM = 12 см.
9. Теперь найдем R:
R = (24 * √657 * 12) / (4 * 108).
10. Упростим:
R = (288 * √657) / 432 = (2 * √657) / 3.
ответ:
- Радиус окружности, проходящей через вершину прямого угла, вершину большего острого угла и середину большего катета, равен R = (2 * √657) / 3 см.