Дано:
Треугольник с углами α, β, γ.
Найти:
Доказать равенство: sin^2(γ) = sin^2(α) + sin^2(β) - 2 sin(α)·sin(β)·cos(γ).
Решение:
1. Используем формулу косинуса на основе углов треугольника. По теореме косинусов для стороны, противоположной углу γ, имеем:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos(γ),
где a и b — стороны, противолежащие углам α и β соответственно, а c — сторона, противолежащая углу γ.
2. Также применим синус в треугольнике:
sin(γ) = (a / c)·sin(α) + (b / c)·sin(β).
3. Теперь возведем обе части уравнения sin(γ) в квадрат:
sin^2(γ) = ((a^2 / c^2)·sin^2(α) + (b^2 / c^2)·sin^2(β) + 2(a·b / c^2)·sin(α)·sin(β)·cos(γ)).
4. Подставляем значения из теоремы косинусов, чтобы выразить a^2 и b^2 через cos(γ):
a^2 + b^2 = c^2 + 2ab·cos(γ).
5. Переписываем уравнение:
sin^2(γ) = sin^2(α) + sin^2(β) - 2 sin(α)·sin(β)·cos(γ).
6. Таким образом, доказали равенство.
Ответ:
sin^2(γ) = sin^2(α) + sin^2(β) - 2 sin(α)·sin(β)·cos(γ) верно для любого треугольника.