Дано:
Равенство для углов треугольника: sin^2(γ) = sin^2(α) + sin^2(β) + sin(α) · sin(β).
Найти:
Угол γ.
Решение:
1. Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Поэтому можно выразить угол γ через α и β:
γ = 180° - (α + β).
2. Подставим это выражение в левую часть уравнения:
sin^2(γ) = sin^2(180° - (α + β)).
3. Используем свойство синуса, что sin(180° - x) = sin(x):
sin^2(γ) = sin^2(α + β).
4. Применим формулу суммы углов для синуса:
sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β).
5. Таким образом, получаем:
sin^2(α + β) = (sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β))^2.
6. Раскроем квадрат:
sin^2(α + β) = sin^2(α)·cos^2(β) + 2sin(α)·cos(β)·cos(α)·sin(β) + cos^2(α)·sin^2(β).
7. Теперь подставим полученное значение обратно в равенство:
sin^2(α + β) = sin^2(α) + sin^2(β) + sin(α)·sin(β).
8. Значит, мы имеем равенство:
sin^2(γ) = sin^2(α) + sin^2(β) + sin(α)·sin(β).
9. Это равенство выполняется при условии, что α и β равны 45°. Таким образом, можем найти угол γ:
α + β = 90°,
γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.
Ответ:
Угол γ равен 90°.