Дано: В треугольнике ABC вписана окружность, которая касается стороны AC в точке K. Известно, что AK = a и CK = b, при этом a > b. Прямая, проходящая через точки касания окружности с другими сторонами треугольника, пересекает прямую AC в точке M.
Найти: отрезок MC.
Решение:
1. Пусть точка касания окружности с BC — это точка P, а с AB — это точка Q. Так как окружность вписана в треугольник, отрезки касания окружности с сторонами треугольника равны. Обозначим длины этих отрезков как AP = AQ = x и BP = BQ = y.
2. Поскольку окружность касается AC в точке K, имеем:
AK = AP = a
CK = BP = b
3. Тогда сторона AB равна AP + AQ = a + x и BC равна BP + PC = b + x.
4. Прямая, проходящая через точки касания окружности, называется прямой симплекса. Она пересекает AC в точке M, где M — это точка пересечения прямой касания с AC.
5. Поскольку отрезки касания окружности одинаковы и прямой симплекса делит AC, то точка M делит отрезок AC в тех же пропорциях, что и точки касания. Это значит, что отрезок MC равен:
MC = CK - AK = b - a.
Ответ: Отрезок MC равен b - a.