Дано:
- Сторона AB квадрата ABCD равна 4.
- Отрезок касательной, проведённой из точки C, равен √46.
Найти:
- Диаметр окружности.
Решение:
1. Обозначим центр окружности как O и радиус окружности как R.
2. Поскольку AB является хордой, можно найти расстояние от центра окружности O до стороны AB. Обозначим это расстояние как h.
3. По свойствам хорд:
h² + (AB/2)² = R².
Подставим AB = 4:
h² + (4/2)² = R²,
h² + 4 = R². (1)
4. Из точки C проведена касательная к окружности, и по теореме о касательной:
OC² = OS² + SC²,
где OS — расстояние от центра окружности до точки касания, а SC — длина касательной.
Подставим SC = √46:
OC² = R² - (√46)²,
OC² = R² - 46. (2)
5. Также, точка C отстоит от AB на расстоянии R, то есть:
OC = R + h.
6. Подставим OC в уравнение (2):
(R + h)² = R² - 46.
7. Раскроем скобки:
R² + 2Rh + h² = R² - 46.
8. Упростим уравнение:
2Rh + h² = -46.
9. Теперь подставим значение h² из уравнения (1):
2Rh + (R² - 4) = -46.
10. Упростим это уравнение:
2Rh + R² - 4 = -46,
2Rh + R² = -42.
11. Перепишем уравнение:
R² + 2Rh + 42 = 0.
12. Это квадратное уравнение относительно R, и его можно решить через дискриминант:
D = (2h)² - 4*1*42.
13. Решим уравнение и найдем R, затем диаметр будет:
D = 4 + 4*42 = 172,
R = 7.
14. Таким образом, диаметр D = 2R = 2 * 7 = 14.
Ответ:
Диаметр окружности равен 14.