Дано:
- Параллелограмм ABCD, в который вписана окружность.
- Окружность делит сторону AB в отношении 1:3 от вершины A.
- Окружность делит сторону AD в отношении 4:5 от вершины A.
Найти:
- Косинус острого угла параллелограмма.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- Пусть AB = 4x, тогда отрезок AM = x и MB = 3x, где M — точка деления на стороне AB.
- Пусть AD = 9y, тогда отрезок AN = 4y и ND = 5y, где N — точка деления на стороне AD.
2. Так как параллелограмм имеет равные противоположные стороны, можно записать:
- BC = 4x и CD = 9y.
3. В соответствии с теоремой о вписанной окружности, сумма длин противоположных сторон равна:
AB + CD = AD + BC.
4. Подставим значения:
4x + 9y = 9y + 4x.
Это уравнение всегда верно и не дает новой информации.
5. Теперь рассмотрим треугольник AMN, где угол A является острым углом параллелограмма.
6. Для нахождения косинуса угла A воспользуемся отношением длин отрезков:
cos(A) = AM / AB = AN / AD.
7. Подставим известные длины:
cos(A) = (1/4) / 1 = 1/4 и cos(A) = (4/9) / 1 = 4/9.
8. Таким образом, имеем:
cos(A) = 1/4.
Ответ:
Косинус острого угла параллелограмма равен 1/4.