Дано:
Четырёхугольник ABCD, где E и F — середины непараллельных сторон BC и AD соответственно.
Найти:
Показать, что середины отрезков AE, ED, BF и CF являются вершинами параллелограмма.
Решение:
1. Пусть M, N, O и P — середины отрезков AE, ED, BF и CF соответственно. Нам нужно показать, что эти точки образуют параллелограмм.
2. Воспользуемся свойством средней линии в треугольнике. Поскольку E и F — середины сторон BC и AD, отрезок EF параллелен и равен половине отрезка AB и CD.
3. Рассмотрим треугольники ABE и CDF. Поскольку E и F — середины сторон, отрезок EF является средней линией для этих треугольников.
4. Так как E и F — середины сторон, отрезок EF будет параллелен отрезкам AB и CD и равен половине их длины. Следовательно, отрезок EF разделяет треугольники ABE и CDF на две равные части.
5. Точки M, N, O и P являются срединами отрезков AE, ED, BF и CF соответственно. Точки M и O делят отрезок AE и ED пополам, а N и P — отрезок BF и CF пополам.
6. Мы знаем, что в любом четырёхугольнике, где противоположные стороны параллельны, середины отрезков, соединяющих вершины с серединой противоположных сторон, будут образовывать параллелограмм.
7. Поскольку EF параллелен и равен половине отрезка AB и CD, и M и O лежат на серединах отрезков AE и ED, и N и P лежат на серединах отрезков BF и CF, то линии MN и OP, а также MO и NP параллельны и равны друг другу.
Ответ:
Таким образом, точки M, N, O и P образуют параллелограмм.